2020年 算数オリンピック解答速報!?あえて途中まで解説します!


無自覚な「わかったふり」を見抜いて、意味のある「間違い直し」をさせましょう。

わかった!ってほんと?

2020年6月14日 算数オリンピック(自宅受験)がありました。私が個人授業している生徒も受験しました。
どんな試験もそうですが、受けるだけでは意味がありません。

目標達成や志望校合格に向けてやることは、ただ一つ。
「間違い直し」これが一番大切。問題をどれだけ解きまくっても「間違い直し」をしなければ、その問題は、いつまでもできるようにはなりません。

でも、こどもは「間違い直し」をする時、解答・解説を見て、説明を聞いて、本当は「できるようになっていない」のに「わかった!」「なるほど!」って言ってしまいます。この無自覚な「わかったふり」が癖になると、その後、どんなに「間違い直し」をしても何度も同じ問題を間違えてしまいます。大人が見抜くしかありません。

わかりましたか!は、はい・・・

こどもに頭を使わせず、答えややり方を一方的に教えて、「わかりましたか?」「はい!」なんて、そんな授業は、ほとんどの子にとって無価値。あなたの子供を担当している学校の先生、塾の先生はいかがですか?
時代の先端?オンライン授業はいかがですか?

こどもの無自覚な「わかったふり」を見抜き、意味のある「間違い直し」を楽しくさせられる。その癖をつける。

私自身、このこだわりを持ち続け、教育を探求し続けています。教育に流行り廃りなどありません。
予測不能な未来を生きる子供たちに対して「楽しくアタマを使わせる」「間違い直しを当たり前にさせる」ことにこだわる先生が増えて欲しいものです。

もし、子供たちがそんな先生に出会えないと憂いているなら、「あなた」がなりませんか?その選択肢しか残されていない。そんな時代がきているのかもしれません。

私が今まで出会った男女御三家を合格するレベルの子供たちをもつ保護者は、意識して自分の子供を「大人扱い」していました。このことについて、くわしくはいつしか。

2020年 算数オリンピック 途中まで解説!

なぜ途中までしか解説しないのか。その理由は、上の文章を読んでいただければ、わかると思います。「この問題できたよ!」って自慢したいわけじゃありません。「問題」を解くための「必要な知識」「必要な手順」を、「あとは考えればわかる」ところまで解説します。

また、「必要な知識」が不足していた場合は「あとは考えればわかる」状態ではありませんので「必要な知識」を習得してから再チャレンジすることをおすすめします。

ここまで読んでいただきありがとうございました。それでは2020年 算数オリンピック あえて途中まで解説!始めます!宜しくお願いします!

サイエンスシーズ代表三木の紹介写真偉そうに書いているお前は何者だ!と言われそうなので、自己紹介。三木 英司と申します。サイエンスシーズで教育ブロックIQ KEYの教育的価値の拡散、理科実験コンテンツやカリキュラムの企画・開発を行っています。以前、大学でDNAの研究、大手塾で15年、最難関中学受験(算・理)の指導や理科実験教室のコンテンツ開発をしておりました。現在も家庭教師として算数オリンピック・中学受験(算・理)の個人授業も行っております。偉そうにしてすいませんでした。

2020年 算数オリンピック 1 問題

下のような3×3のマスを考えます。1から9の数字を1つずつマスの中に入れて、次の条件を満たすようにします。
<条件>
2×2のマス内に書いてある4つの数字の和はどれも等しい。
6、1、4がすでに入っているとき、残りの数字を書き入れなさい。

2019年 算数オリンピック 2 問題

1542という数字は「15」「54」「42」というように、となりどうしで作られる2けたの数が九九に出てくる2けたの数になっています。
このルールに当てはまる9けたの数を、1から9の数字を1つずつ使って作りなさい。

2019年 算数オリンピック 3 問題

0から9までの数字が1つずつ書かれているレンガが10 個あります。このレンガを下の図1のように積み上げます。そのとき、横にとなり合った2つのレンガとその上にまたがるレンガの3つの数字を見ると「入れ方の例」のように、上の数字は下2つの数字の間にあるようにします。
レンガに当てはまる数字の入れ方を3通り書きなさい。

図1

入れ方の例

2019年 算数オリンピック 4 問題

下の図は、一辺の長さが5cmの正五角形を5個組み合わせたものです。四角形ABCDのまわりの長さと、三角形EFGのまわりの長さのちがいは何cmか答えなさい。

2019年 算数オリンピック 5 問題

101や1100のように、各くらいの数字が0から1だけからなる整数を「ゼロイチ数」とよぶこととします。
ここに7けたのゼロイチ数(ア)と、6けたのゼロイチ数(イ)があります。
Aさんは(ア)×(イ)の計算をして、正しい12けたの答えを紙に書いたのですが、うっかりしてしょうゆをこぼしてしまい、?の部分に書いてあった数字が読み取れなくなってしまいました。
数字の読み取れる部分を手がかりにして、(ア)と(イ)のゼロイチ数を求めなさい。

2019年 算数オリンピック 6 問題

1から9までの数字が1つずつ書かれたカードが1枚ずつ、全部で9枚あります。このうち4枚をAさんが取り、残りの5枚をBさんが取りました。
これについて2人が話しています。

Aさん
「Bさん、今からゲームをしよう。ルールを説明するよ。私が持っている4枚のカードのうち、何枚かを選んで、その数を、たし合わせていろいろな数を作るよ。その数を、BさんはBさんの持っているカードの数をたし合わせて作ってみてね。私が選ぶカードは。1枚だけのときも4枚全部のときもあるから気をつけてね。」

Bさん
「あれ?私はAさんが作ることのできる数なら、どの数でも全部作ることができるよ!」

Aさんの持っている4枚のカードに書かれている数字はなんでしょうか。2通り答えなさい。

2019年 算数オリンピック 7 問題

6つの数A、B、C、D、E、Fは、それぞれ次のような数です。

A=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10
B=11×12×13×14×15×16×17×18×19×20
C=21+22+23+24+25+26+27+28+29+30
D=31×32×33×34×35×36×37×38×39×40
E=41+42+43+44+45+46+47+48+49+50
F=51×52×53×54×55×56×57×58×59×60

A+B+C+D+E+Fを計算したときの、十の位と一の位の数字をそれぞれ答えなさい。

2019年 算数オリンピック 8 問題

平行四辺形ABCDの辺AB、BC、DA上にそれぞれ点E、F、Gをとり、図のように点どうしを結びます。さらに、EDとAF、GF、GCの交点をそれぞれH、P、Rとし、ECとAF、GFの交点をそれぞれI、Qとします。
三角形EIH、FQI、GRD、四角形AHPGの面積がそれぞれ7㎠、6㎠、10㎠、61㎠のとき、四角形PQCRの面積は何㎠ですか。ただし図は正確とは限りません。

2019年 算数オリンピック 9 問題

①、②、③、④、⑤のカードが1枚ずつあります。この5枚のカードは裏に1、2、3、4、5のいずれかの数字が書かれています。
下記の3つのことが成り立つとき、各数字のカードの裏に書かれている数字を求めなさい。

(1)裏に書かれた数字はすべて異なる。
(2)表と裏の数字は異なる。
(3)①と⑤を裏返した場合、①と②を裏返した場合、③と④を裏返した場合、のいずれも、5枚のカードの見えている面の数の話は3の倍数である。

2019年 算数オリンピック 10 問題

2020けたの2020の倍数があります。この中で、最も大きい数をAとします。Aの各けたの数字の和はいくつになるか求めなさい。

2019年 算数オリンピック 11 問題

(あ)から(け)のマスに、1、2、3、4のいずれかの数字を入れます。ただし、すべての1×1の正方形のまわりの4マスには、1から4が1つずつ入ります。
このような入れ方は全部で何通りあるか求めなさい。

2019年 算数オリンピック 12 問題

図1のように、2枚の正方形と8枚の二等辺三角形でできた立体があります。8枚の二等辺三角形は図2と同じ図形です。
このとき、図1の立体の表面積は何㎠か求めなさい。

ここから解説(あえて途中まで)が始まります。

2020年 算数オリンピック 1 あえて途中まで解説!

下のような3×3のマスを考えます。1から9の数字を1つずつマスの中に入れて、次の条件を満たすようにします。
<条件>
2×2のマス内に書いてある4つの数字の和はどれも等しい。
6、1、4がすでに入っているとき、残りの数字を書き入れなさい。

「必要な知識」

魔法陣(共通していないところの合計は等しい)

「必要な手順」

やみくもに埋めるのではなく魔法陣の法則を使います。

左上2×2マス上段と左下2×2マス下段の合計は等しいので7。
右上2×2マス上段と右下2×2マス下段の合計は等しいので5。

残っている数字は2、3、5、7、8、9

あとは頑張ってください!

2019年 算数オリンピック 2 あえて途中まで解説!

1542という数字は「15」「54」「42」というように、となりどうしで作られる2けたの数が九九に出てくる2けたの数になっています。
このルールに当てはまる9けたの数を、1から9の数字を1つずつ使って作りなさい。

「必要な知識」

場合の数(制約が多いものから考える)

「必要な手順」

九九で登場する回数が少ない数(制約が多い数)から考えます。

九九に出てくる2けたの数で9が出てくるのは49のみなので、下2ケタは49。
九九に出てくる2けたの数で7が出てくるのは27と72。この2つは同時に存在できないので、7の使い方は下2けた27か上2けた72。下2けたは49なので、上2けたは72。
九九に出てくる2けたの数で8が出てくるのは18、28、48、81。18と81は同時に存在できないので、8の使い方は-281-か-481-。4は下2けたの49で使っているので、-281-を使うことがわかり、上4けたは7281となります。

あとは頑張ってください!

2019年 算数オリンピック 3 あえて途中まで解説!

0から9までの数字が1つずつ書かれているレンガが10 個あります。このレンガを下の図1のように積み上げます。そのとき、横にとなり合った2つのレンガとその上にまたがるレンガの3つの数字を見ると「入れ方の例」のように、上の数字は下2つの数字の間にあるようにします。
レンガに当てはまる数字の入れ方を3通り書きなさい。

図1

入れ方の例

「必要な知識」

場合の数(制約が多いものから考える)

「必要な手順」

情報が多い場所(制約が多い場所)から考えます。

8の左は0か1か2。2はつかっているので0か1。0は2つの数字の間にならない。よって8の左は1。
1は2と2の右の数の間になるので2の右は0。8は0と0の右の数の間になるので0の右は9。

あとは頑張ってください!

2019年 算数オリンピック 4 あえて途中まで解説!

下の図は、一辺の長さが5cmの正五角形を5個組み合わせたものです。四角形ABCDのまわりの長さと、三角形EFGのまわりの長さのちがいは何cmか答えなさい。

「必要な知識」

正多角形の性質(内角が等しい)
平行四辺形の性質(対辺が等しい)

「必要な手順」

ひらめこうとする前に情報をすべて書き込みます。

正五角形が平行に並んでいるので、平行な線がたくさんあり、平行四辺形もたくさんあります。

あとは頑張ってください!

2019年 算数オリンピック 5 あえて途中まで解説!

101や1100のように、各くらいの数字が0から1だけからなる整数を「ゼロイチ数」とよぶこととします。
ここに7けたのゼロイチ数(ア)と、6けたのゼロイチ数(イ)があります。
Aさんは(ア)×(イ)の計算をして、正しい12けたの答えを紙に書いたのですが、うっかりしてしょうゆをこぼしてしまい、?の部分に書いてあった数字が読み取れなくなってしまいました。
数字の読み取れる部分を手がかりにして、(ア)と(イ)のゼロイチ数を求めなさい。

「必要な知識」

場合の数(制約が多いものから考える)
場合の数(仮定して矛盾を見つける)

「必要な手順」

計算結果の下2けたが01なので、(ア)1◯◯◯◯01 (イ)1◯◯◯01
(イ)を111101と仮定して筆算すると

     1◯◯◯◯01
    X 11101
--------ーーーー
     1◯◯◯01
   1◯◯◯◯01
  1◯◯◯◯0
 1◯◯◯◯01
1◯◯◯◯01
--------ーーーー
1?11????01

に注目すると(ア)1◯◯◯01になることがわかる。
再び(イ)を111101と仮定して筆算すると

     1◯◯1◯01
    X 11101
--------ーーーー
     1◯◯1◯01
   1◯◯1◯01
  1◯◯1◯01
 1◯◯1◯01
1◯◯1◯01
--------ーーーー
1?11?3??2?01

どこかが矛盾していますね。あとは頑張ってください!

2019年 算数オリンピック 6 あえて途中まで解説!

1から9までの数字が1つずつ書かれたカードが1枚ずつ、全部で9枚あります。このうち4枚をAさんが取り、残りの5枚をBさんが取りました。
これについて2人が話しています。

Aさん
「Bさん、今からゲームをしよう。ルールを説明するよ。私が持っている4枚のカードのうち、何枚かを選んで、その数を、たし合わせていろいろな数を作るよ。その数を、BさんはBさんの持っているカードの数をたし合わせて作ってみてね。私が選ぶカードは。1枚だけのときも4枚全部のときもあるから気をつけてね。」

Bさん
「あれ?私はAさんが作ることのできる数なら、どの数でも全部作ることができるよ!」

Aさんの持っている4枚のカードに書かれている数字はなんでしょうか。2通り答えなさい。

「必要な知識」

場合の数(制約が多いものから考える)
等差数列の和

「必要な手順」

文章から制約を探します。

1から9の和は45、平均は22.5。Aの合計はBを超えてはいけないので22以下、Bの合計は23以上。

制約が多い数から考えます。

1、2は、たし合わせて作ることができないので、Bが持っていることがわかる。
【パターン1】
Aが3を持っている場合、Bは4を足し合わせて作ることができない(1+3を作ることができない)のでBが4を持つこととなる。A:3◯◯◯ B:124◯◯
【パターン2】
Aが4を持っている場合、Bは4を足し合わせて作るために3を持つこととなる。A:4◯◯◯ B:123◯◯

【パターン2】とAは22以上、Bは23以上を考えるとBの持っているカードは12389(合計23)しか考えられない。その時、Aは4567となり、Bは4+5+7=16を作れないので、【パターン2】の場合はありえません。

あとは頑張ってください!

2019年 算数オリンピック 7 あえて途中まで解説!

6つの数A、B、C、D、E、Fは、それぞれ次のような数です。

A=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10
B=11×12×13×14×15×16×17×18×19×20
C=21+22+23+24+25+26+27+28+29+30
D=31×32×33×34×35×36×37×38×39×40
E=41+42+43+44+45+46+47+48+49+50
F=51×52×53×54×55×56×57×58×59×60

A+B+C+D+E+Fを計算したときの、十の位と一の位の数字をそれぞれ答えなさい。

「必要な知識」

素因数分解
計算の工夫

「必要な手順」

規則的な数字が並んでいる計算は工夫をする

Bの素因数分解を考えると「×5」が2つ、「×2」がたくさんあるので「×10」が2つ入っています。
CはAに比べて、10個の数がそれぞれ20増えているので、合計で10×20=200増えています。

あとは頑張ってください!

2019年 算数オリンピック 8 あえて途中まで解説!

平行四辺形ABCDの辺AB、BC、DA上にそれぞれ点E、F、Gをとり、図のように点どうしを結びます。さらに、EDとAF、GF、GCの交点をそれぞれH、P、Rとし、ECとAF、GFの交点をそれぞれI、Qとします。
三角形EIH、FQI、GRD、四角形AHPGの面積がそれぞれ7㎠、6㎠、10㎠、61㎠のとき、四角形PQCRの面積は何㎠ですか。ただし図は正確とは限りません。

「必要な知識」

平行四辺形の性質
等積変形

「必要な手順」

同じ面積が重なっている時、共通していないところの合計は等しい

平行四辺形の1/2

共通部分

あとは頑張ってください!

2019年 算数オリンピック 9 あえて途中まで解説!

①、②、③、④、⑤のカードが1枚ずつあります。この5枚のカードは裏に1、2、3、4、5のいずれかの数字が書かれています。
下記の3つのことが成り立つとき、各数字のカードの裏に書かれている数字を求めなさい。

(1)裏に書かれた数字はすべて異なる。
(2)表と裏の数字は異なる。
(3)①と⑤を裏返した場合、①と②を裏返した場合、③と④を裏返した場合、のいずれも、5枚のカードの見えている面の数の話は3の倍数である。

「必要な知識」

倍数(◯の倍数の和=◯の倍数)

「必要な手順」

徹底的に情報整理します。

①と⑤を裏返した場合、表のカードは②、③、④
2+3+4=9、9は3の倍数なので、①と⑤の裏の合計も3の倍数となります(3か6か9)
①と②を裏返した場合、表のカードは③、④、⑤
3+4+5=12、12は3の倍数なので、①と②の裏の合計も3の倍数となります(3か6か9)
③と④を裏返した場合、表のカードは①、②、⑤
1+2+5=8、8は3の倍数なので、③と④の裏の合計は3の倍数となりません(4か7)

①と⑤の裏の合計も①と②の裏の合計も3の倍数なので、①②⑤は3ではありません。
③のうらも3ではないので、④の裏が3であることがわかります。

あとは頑張ってください!

2019年 算数オリンピック 10 あえて途中まで解説!

2020けたの2020の倍数があります。この中で、最も大きい数をAとします。Aの各けたの数字の和はいくつになるか求めなさい。

「必要な知識」

倍数(◯の倍数の和=◯の倍数)

「必要な手順」

なるべくたくさんの9を作る!

2×45=90なので2020×45=90900
90900+909000=999900、999900+9999000000=999999990000というように足していくと、2020の倍数を保ちながら最大化することができます。

あとは頑張ってください!

2019年 算数オリンピック 11 あえて途中まで解説!

(あ)から(け)のマスに、1、2、3、4のいずれかの数字を入れます。ただし、すべての1×1の正方形のまわりの4マスには、1から4が1つずつ入ります。
このような入れ方は全部で何通りあるか求めなさい。

「必要な知識」

場合の数(積の法則)

「必要な手順」

順番に埋めていき場合の数を掛け合わせます

(あ)(い)(え)(お)に1、2、3、4を入れる場合の数は24通り。
(う)に、(え)と同じ数を入れた場合、(か)は、(あ)と同じ数になり、(き)(く)(け)も決まってしまうので1通り。

あとは頑張ってください!

2019年 算数オリンピック 12 あえて途中まで解説!

図1のように、2枚の正方形と8枚の二等辺三角形でできた立体があります。8枚の二等辺三角形は図2と同じ図形です。
このとき、図1の立体の表面積は何㎠か求めなさい。

「必要な知識」

展開図
直角二等辺三角形の面積

「必要な手順」

45°→直角二等辺三角形

正方形が見えますか?

あとは頑張ってください!

以上、2020年 算数オリンピック あえて途中まで解説でした。

算数オリンピックは特別な世界ではありません。ひらめきの世界ではありません。どこまでも作法に忠実であり論理的です。算数オリンピックの勉強は中学受験算数の対策になるだけでなく、あらゆる物事を論理的、批判的に捉える訓練にもなります。これこそが予測不能な未来を生きる子供達に必要な能力ではないでしょうか。
我が子にも、利己的な人間を見抜き、エビデンスのない空気に流されない大人になってほしい。そのために安易に答えを教えず、ハシゴはかけず、失敗に共に向き合っていきたいです。

失敗を恐れず、自ら調べ、自ら考え、行動し続ける。それを楽しめる。そんな大人になってほしい。

「教育ブロックIQ KEY」「サイエンスシーズ」は、失敗に立ち向かうことが大好きな子供たちと、失敗に立ち向かうことこそを評価する保護者、教育者をこれからも応援します!

解答
1 中段789、下段523
2 728163549

   6    5    5
  37   37   37
  185  186  186
 2094 2094 2095
4 15cm
5 (ア)1001101 (イ)111001
6 3567、3568
7 65
8 70㎠
9 45132
10 18160
11 72通り
12 576㎠